05 de abril 2011: Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano

El pasado martes 05 de abril el Dr. Alfredo Rios, profesor del Departamento de Matemática de la USB nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano

En la segunda mitad de la década de los setenta del siglo pasado, Burgess Davis publicó un par de artículos en los que explotaba un aspecto de la la interesante conexión entre las funciones analíticas complejas y el proceso estocástico conocido con el nombre de Movimiento Browninano (también llamado Proceso de Wiener). En particular, Burgess Davis presentó una ingeniosa prueba del llamado Pequeño Teorema de Picard (que asegura que la imagen de toda función entera no constante es todo el plano complejo, con la posible exclusión de sólo un punto) haciendo uso de esta conexión.

Mi propósito en esta charla es múltiple:

1. Presentar esta última prueba, haciendo énfasis en las ideas y con un nivel de detalle comprensible para una audiencia general.
2. Ilustrar con ella esa propiedad maravillosa de las matemáticas que permite estudiar hechos desde diversas perspectivas (en este caso, un problema de análisis complejo desde un punto de vista probabilístico).
3. Hablar sobre el Movimiento Browniano, que siempre es agradable.

Las definiciones y propiedades relevantes del movimiento browniano serán presentadas al inicio de la charla.

29 de marzo 2011: Álgebras simétricas cuánticas

El pasado martes 29 de marzo la Dra. Delia Flores, profesora jubilada de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Álgebras Simétricas Cuánticas

Un álgebra simétrica cuántica sobre un cuerpo K, es un álgebra graduada $R=\underset{n\geq o}{\oplus }R_{n}$, donde $R_{0}=K,R_{1}=V$ es un K-espacio con una "trensa" y R es generada como K-álgebra por V.

Hay dos formas de aproximarse al estudio de estas álgebras:

1. Usando teoría de Representación, la que se remota a Riham Ree, 1958 y se continua con Lusztig (1997), Green (1998-2000), Rosso (1998), Flores-Green (200-2005).

2. Trabajando en una categoría tensorial de módulos, cuya estructura induce una trensa. Se inicia con los trabajos de Nichols (1978), continúan, entre otros, Andruskiewich-Schneider, (1999-2000),Takeuchi (2000-2003), Flores 2005.

En esta charla construiremos un álgebra simétrica cuántica a partir de un espacio vectorial V con una trensa b, $S^{b}\left( v\right) ,b:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$ es una aplicación lineal e invertible que satisface la ecuación de Yang-Baxter
$\left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right)
=\left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) .
$

Para esto veremos como la trensa b sobre V, permite obtener una representación del grupo de trensas $B_{n}$ sobre $V^{\otimes n}$, para cada n, usando esta representación definimos una multiplicación $ \ast \equiv Sh$ sobre $T\left( V\right) $ que junto con la inyección u de K en $T\left( V\right) $ nos dá el álgebra $T^{b}\left( V\right) =\left( T\left( V\right) ,Sh,u\right) $, llamada álgebra cuántica. Veremos que la sub-álgebra de $T^{b}\left( V\right) $ generado por $V,S^{b}\left( V\right) $, es un álgebra simétrica cuántica.

Daremos ejemplos que nos permitan ver como los q-números, $\left( n\right) _{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}$, surgen de un modo natural en el contexto de estas álgebras y como el álgebra tensorial $T\left( V\right) $, el álgebra simétrica $S\left( V\right) $ el álgebra exterior $\wedge V\ $ y la q-deformación $S_{q}\left( V\right) $ de $S\left( V\right) $ son casos particulares de álgebras simétricas cuánticas.

Destacaremos un resultado de Rosso que obtiene a $S^{b}\left( V\right) $ como la imagen de un operador de $T\left( V\right) $ en $T^{b}\left( V\right) $, que deja ver a $S^{b}\left( V\right) $ como la simetrización completa de $T^{b}\left( V\right) $ con respecto al grupo de trensas.

Programación del semestre I-2011

Estimados amigos, a continuación esta una lista de los expositores programados para el presente semestre en el Coloquio, junto con el tema que tratarán en su charla ó el título de su charla.

Esperamos verles seguido este semestre.

Fecha	Expositor	Tema o Titulo de la Charla
15 de Marzo	Mercedes Arriojas	Título: Derivados basados en tasas de interés
22 de Marzo	Angel Padilla	Título: Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción
29 de Marzo	Delia Flores	Título: Álgebras simétricas cuánticas
5 de Abril	Alfredo Rios	Título: Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano
12 de Abril	Miguel Mendez	Tema: Operadores diferenciales combinatorios
26 de Abril	Yeiremi Freites	Tema: Límites asociados a ultra filtros en espacios uniformes
3 de Mayo	Jonathan Otero	Tema: Cíclides
10 de Mayo	Nelson Merentes	Título: Funciones fuertemente convexas
17 de Mayo	Pedro Alson	Título: Relación entre la Escuela de Matemática de la UCV y el bachillerato
24 de Mayo	Arnaud Meyroneinc	Tema: Sistemas dinámicos
31 de Mayo	Angie Pineda	Tema: Procesos autoregresivos no lineales
7 de Junio	Francisco Tovar	Título: Geometría computacional
14 de Junio	Daniela Torrealba	Tema: Acciones de grupos sobre estructuras finitas
21 de Junio	Andrés Perez	Tema:
28 de Junio	José G. Gómez	Tema: Superficies Aleatorias
12 de Julio	Andrés Contreras	Tema: Sistemas infinitos de ecuaciones en espacios de Hilbert con núcleos reproductivos

22 de marzo 2011: Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción

El pasado martes 22 de marzo el MsC. Angel Padilla, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción

El Teorema de Naimark establece que toda función definida positiva en un grupo abeliano a valores en L(H), donde H es un espacio de Hilbert, posee una dilatación unitaria. A partir de este resultado se pueden dar nuevas demostraciones de algunos resultados de dilatación en la teoría de semigrupos de operadores.

Lo primero que haremos en esta charla es dar la demostración del teorema de Naimark. La idea es construir una forma sesquilineal positiva a partir de la función definida positiva y, pasando a las clases de equivalencia, obtener un producto interno en un espacio de Hilbert, que contiene al espacio de Hilbert original. En este espacio se construye la representación unitaria que dilata a la función definida positiva.

Como aplicación de este resultado daremos a una prueba del teorema de dilatación de Nagy, que establece que toda contracción posee dilatación unitaria minimal.

15 de marzo 2011: Derivados Basados en Tasas de Interés

El pasado martes 15 de marzo de febrero la Dra. Mercedes Arriojas, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Derivados Basados en Tasas de Interés

Los mercados de derivados basados en tasas de interés tienen un alto nivel de actividad. En la actualidad, los bonos son considerados como una alternativa interesante de inversión. Por otra parte, las tasas de interés asociadas a estos instrumentos financieros, en general, reflejan la incertidumbre del mercado, lo que hace pertinente la consideración de modelos aleatorios para la descripción del comportamiento de los activos asociados a tasas de interés. Describiremos algunos de los derivados basados en tasas de interés, presentaremos el modelo general de mercado que sirve de contexto para su estudio y mostraremos el uso de este modelo en el problema de valoración de instrumentos basados en tasas de interés.