14 de junio 2010: Desigualdad general de L´Hopital

El lunes 14 de junio el Dr. Carlos Finol, profesor jubilado de la escuela de Matemática, UCV nos mostró una sencilla demostración de una desigualdad que generaliza la regla de L'Hopital, además de hablarnos sobre diferentes identidades, sencillas, pero muy interesantes. Una charla muy amena para cerrar este ciclo del coloquio. Aquí les dejamos el resumen de su charla.

Desigualdad general de L´Hopital

Sean f,g funciones reales, diferenciables, definidas en un intervalo (a,b) y tales que, existe un punto t en (a,b), donde f y g se anulan. Supongamos también que, existe un entorno de t donde g es distinta de cero. Entonces se tiene que el límite inferior, en t, del cociente de las derivadas de las funciones, es menor o igual al límite inferior del cociente de las funciones; también, el límite superior, en t, del cociente de las funciones, es menor o igual al límite superior del cociente de las derivadas. La regla de L´Hopital se deduce de inmediato de estas desigualdades.

07 de junio 2010: Tres versiones combinatorias de la formula de inversión de Lagrange en una variable

El lunes 07 de junio el MsC. Jean Carlos Liendo, profesor de la escuela de Matemática, UCV, demostró, usando técnicas de especies combinatorias y antípodas asociadas, tres versiones de la fórmula de inversión de Lagrange para series formales, con respecto a la operación de sustitución. Aquí está el resumen de su charla.

Tres versiones combinatorias de la formula de inversión de Lagrange en una variable

Un problema álgebraico-combinatorio es hallar la fórmula de la inversa con respecto a la substitución a una serie formal. Esta es bien conocida como la fórmula de inversión de Lagrange. Gian Carlo Rota se dio cuenta que la fórmula de inversión de Lagrange se puede interpretar de manera recursiva a través de árboles. Esta es la idea inicial de la siguiente construcción:

Un operad conjuntístico es una familia de estructuras combinatorias junto a un mecanismo de ensamblaje o multiplicación entre las estructuras combinatorias de la misma familia. En el lenguaje de la teoría de categoría un operad es un monoide en la categoría de las especies positivas junto a la operación de substitución. Usando la especie uniforme positiva se define un operad conjuntístico y a partir de este operad obtenemos el álgebra de Hopf de Faá di Bruno. Hayman-Schmitt obtienen una formula para la antípoda de esta álgebra en términos de árboles. Desde esta antípoda se obtiene una nueva formula de inversión de Lagrange para series formales en términos de árboles y en términos de los polinomios exponenciales de Bell. Usando la especie uniforme punteada construimos de manera similar el álgebra de Hopf de Faá di Bruno punteada y obtenemos una formula combinatoria para su antípoda que generaliza a la de Hayman-Schmitt. Reformulamos la prueba combinatoria de la fórmula clásica de inversión de Lagrange presentada por William Y. Chen en términos de la antípoda de esta álgebra.