Felices fiestas

El Coloquio de Matemática las desea unas felices fiestas en compañia de sus seres queridos.

Les recordamos que reiniciamos el Coloquio el 10 de enero con la charla de la Investigadora del IVIC, Stella Brassesco.

Charla: Convoluciones de Bernoulli

El pasado martes 06 de diciembre el Dr. Ricardo Rios, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dio una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.

Convoluciones de Bernoulli

La trasformada de Fourier de medidas de Probilidad, conocida como función carcacterística, es una herramienta útil para conocer la medida límite de una sucesión de variables aleatorias. Paul Erdös en 1937 le metió la lupa la distribución límite del proceso AR($1$) estacionario con ruido Bernulli centrado $Y(n+1)=aY(n) + e(n+1)$ con $P(e=1)=P(e=-1)=1/2$ y encontró cosas tan raras como que si $0<|a|<{1 \over 2}$ la ley límite es ortogonal a la medida de Lebesgue: vive en un conjunto tipo Cantor. Conjeturó la medida de Lebesgue de $m(\{a:{1 \over 2} < a < 1 \mbox{ y la ley límite de Y(n) tiene densidad} \})=1,$ cosa que probaron 47 años después. Ese proceso es el ejemplo básico de un proceso estacionario que es débilmente dependiente y no $\alpha$-mixing, según las definiciones que Paul Doukhan dio la semana pasada en la Conferencia León. Si $a=\phi$, el número de Euler, la lay límite no tiene solución. Esto tiene que ver con loas raíces de los polinomios con valores en el intervalo $(-1,1)$ con coeficientes en $\{-1,1\}$. Entre las curiosidades está que la función de regresión se puede estimar de manera no paramétrica a pesar de que la ley del ruido no tiene densidad con respecto a Lebesgue.