El pasado martes 28 de junio el Lic. José Gregorio Gómez, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Un Campo Aleatorio no es más que un proceso estocástico que toma valores en un espacio Euclidiano definido sobre un espacio de parámetros de dimensián $d\geq 1$. Formalmente, dado un espacio de probabilidad, un Campo Aleatorio es una familia de funciones medibles $\{Z(t): t \in \textbf{T}\}$, donde $T$ es un espacio topológico o una variedad.
En este trabajo se expondrá el estudio algunas propiedades geométricas de los campos aleatorios como curvaturas, tangencia, puntos críticos, áreas, característica de Euler, etc. Por otro lado en un ambiente "más probabilístico" estudiamos la esperanza del número de raíces (o niveles) de la ecuación aleatoria $Z(t)=z$ para t en un conjunto compacto $B$ de $T$. Tal número esperado de raíces se calcula mediante la fórmula Kac - Rice cuya prueba esta basada mediante el uso de la fórmula del Área y las técnicas de Azais-Wschebor (2009). Luego se expone una aplicación concreta en el estudio de imágenes producidas por microlentes gravitacionales aleatorios clasificando el tipo de imágenes (elípticas, de ensilladura, eáusticas) y los valores esperados del número de éstas mediante el uso de las Desigualdades de Morse. Finalmente se cierra con comentarios sobre otras aplicaciones del estudio de campos aleatorios en ciencias como oceanografía, neurología, etc.
Geometría de Campos Aleatorios y Algunas Aplicaciones
Un Campo Aleatorio no es más que un proceso estocástico que toma valores en un espacio Euclidiano definido sobre un espacio de parámetros de dimensián $d\geq 1$. Formalmente, dado un espacio de probabilidad, un Campo Aleatorio es una familia de funciones medibles $\{Z(t): t \in \textbf{T}\}$, donde $T$ es un espacio topológico o una variedad.
En este trabajo se expondrá el estudio algunas propiedades geométricas de los campos aleatorios como curvaturas, tangencia, puntos críticos, áreas, característica de Euler, etc. Por otro lado en un ambiente "más probabilístico" estudiamos la esperanza del número de raíces (o niveles) de la ecuación aleatoria $Z(t)=z$ para t en un conjunto compacto $B$ de $T$. Tal número esperado de raíces se calcula mediante la fórmula Kac - Rice cuya prueba esta basada mediante el uso de la fórmula del Área y las técnicas de Azais-Wschebor (2009). Luego se expone una aplicación concreta en el estudio de imágenes producidas por microlentes gravitacionales aleatorios clasificando el tipo de imágenes (elípticas, de ensilladura, eáusticas) y los valores esperados del número de éstas mediante el uso de las Desigualdades de Morse. Finalmente se cierra con comentarios sobre otras aplicaciones del estudio de campos aleatorios en ciencias como oceanografía, neurología, etc.
