02 de agosto 2011: Pares de Cotorsión y Estructuras Abelianas de Modelo

El pasado martes 02 de agosto el MSc. Marco Pérez,eudiante doctoral en la Universidad de Québec à Montré nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Pares de Cotorsión y Estructuras Abelianas de Modelo

El concepto de par de cotorsión en categorías abelianas es una noción que generaliza simultáneamente las de niciones de objeto inyectivo y objeto proyectivo. Tal concepto fue introducido por Luigi Salce en los años 60 para la categoría de grupos abelianos, usando el functor Hom. Años más tarde, Edgar Enochs redescubre este concepto en la categoría de módulos sobre un anillo, esta vez reemplazando el funtor Hom por el funtor Ext.

Paralelamente, a fi nales de los años 60, Daniel Quillen introduce el concepto categoría de modelo, llevando las nociones de la teoría de homotopía en espacios topológicos a situaciones más generales.

En años recientes, Mark Hovey estudió algunas relaciones entre los pares de cotorsión y las categorías de modelo. El objetivo de esta charla es presentar las construcciones dadas por Hovey en [1]. Construiremos una categoría con estructura abeliana de modelo a partir de un par de cotorsión completo. Una pregunta interesante al respecto es si se puede ir en la otra dirección, es decir, construir un par de cotorsión completo a partir de una categoría con estructura abeliana de modelo. La respuesta es que sí. Si el tiempo lo permite, daremos una descripción de esta construcción.

Referencias

[1] Hovey, M. Cotorsion theories, model category structures, and representation theory. Mathematische Zeitschrift. Vol. 241. 553-592. (2002).
[2] Hovey, M. Cotorsion pairs and model categories. Interactions between homotopy theory and algebra. Contemporary Mathematics. V. 436. 277-296. (2007).
[3] Para la parte de categorías de modelo: Hovey, M. Model Categories. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. Providence (2007).
[4] Para la parte de pares de cotorsión: Enochs, E.; Jenda, O. Relative Homological Algebra. De Gruyter Expositions in Mathematics. Berlin (2000).

26 de julio 2011: Splines

El pasado martes 26 de julio el Dr. Francisco Tovar, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Splines

Cuando en los cursos de cálculo numérico básico aparece la palabra “splines”, seguramente es referida a problemas de interpolación. Esto es, dada una partición del intervalo y las respectivas alturas, dadas por alguna función , se pretende construir una familia de n-1 polinomios de grado bajo (usualmente 3), con el fin de que cada polinomio interpole los pares , y a demás la conexión entre dos polinomios adyacentes sea suave (de clase al menos). En este sentido, se estudian varios autores tales como Newton, Lagrange, Hermite, etc. Sin embargo, en el año 1959, aparecen los splines de Bézier (introducidos por Pierre Etienne Bézier): curvas y superficies, que le dan un gran impulso al campo de la modelación geométrica y que permitió el desarrollo de una nueva área entre las matemáticas y la computación: Modelación Geométrica Asistida por el Computador (CAGD). El desarrollo de estas curvas y superficies como herramientas útiles para la modelación de diferentes objetos (desde vehículos, hasta las letras de las impresoras), fueron también introducidas de manera simultanea por Paul de Casteljau (físico-matemático), quien presentó también en 1959, un algoritmo computacional muy estable para el despliegue, control y diseño de los splines de Bézier.

El objetivo de esta conferencia es estudiar brevemente las curvas de Bézier de grado 3 y sus propiedades, diseñar y controlar nuevos splines a partir de su expresión algebraica como opuesto a estudiarlos a partir de su expresión paramétrica (A-splines) y utilizar los splines de Bézier de grado 2, para el diseño de otras estructuras geométricas tales como superficies tubulares y “path splines” o splines de caminos.

La propuesta inicial de diseñar y controlar los A-splines, se le debe a Sederber. Consiste en aplicar las propiedades geométricas de las curvas algebraicas, tales como interpolación, tangencia, curvatura, etc., para construir estos splines, inclusive usando aquellas curvas que no tienen una representación paramétrica. En particular estudiaremos las A-splines de grado 3.

Para el diseño de superficies tubulares, vamos a estudiar la representación esferas como puntos del exterior de un paraboloide de revolución en , el cual es una extensión del modelo de representación de círculos presentado por Dan Pedoe. Utilizando las propiedades geométricas de los splines de Bézier de grado 2, se construye otro spline en 3D, que consiste de segmentos de una superficie implícita de grado algebraico cuatro. Esta es, la superficie envolvente de una familia monoparamétrica de esferas. La familia de esferas que define cada segmento de envolvente, resulta de la representación de una cónica de Bezier en . Mostraremos que al construir un spline cónico en con clase (recta tangente continua), el spline tubular también resulta de clase (planos tangentes continuos, a través de la curva de contacto).

Finalmente, los path splines, resultan del caso particular, cuando la curva de centros de las esferas de una sección del spline tubular yace en un plano. En este caso, se estudia el diseño de un A-spline, que consta de dos segmentos de curvas que se despliegan simultáneamente, similar a un camino. Estudiaremos sus propiedades, conexión, curva central y asas de control.

12 de julio 2011: Solución de un sistema infinito de ecuaciones lineales en espacio de Hilbert con núcleo reproductivo

El pasado martes 12 de julio el Lic. Andrés Contreras, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Solución de un sistema infinito de ecuaciones lineales en espacio de Hilbert con núcleo reproductivo

En esta charla se dará una breve introducción a la teoría de espacios de Hilbert con núcleo reproductivo. Entre los puntos a tratar en esta introducción se encuentran estudiar condiciones necesarias y suficientes para que un espacio de Hilbert posea núcleo reproductivo, ver algunas propiedades importantes de los núcleos y dar algunos ejemplos clásicos. Utilizando toda las maquinaria de los núcleos reproductivos, y herramientas propias del análisis funcional, se estudiará un método que permite resolver sistemas infinitos de ecuaciones lineales en espacios de Hilbert con núcleo reproductivo.