26 de julio 2011: Splines

El pasado martes 26 de julio el Dr. Francisco Tovar, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.

Splines

Cuando en los cursos de cálculo numérico básico aparece la palabra “splines”, seguramente es referida a problemas de interpolación. Esto es, dada una partición del intervalo y las respectivas alturas, dadas por alguna función , se pretende construir una familia de n-1 polinomios de grado bajo (usualmente 3), con el fin de que cada polinomio interpole los pares , y a demás la conexión entre dos polinomios adyacentes sea suave (de clase al menos). En este sentido, se estudian varios autores tales como Newton, Lagrange, Hermite, etc. Sin embargo, en el año 1959, aparecen los splines de Bézier (introducidos por Pierre Etienne Bézier): curvas y superficies, que le dan un gran impulso al campo de la modelación geométrica y que permitió el desarrollo de una nueva área entre las matemáticas y la computación: Modelación Geométrica Asistida por el Computador (CAGD). El desarrollo de estas curvas y superficies como herramientas útiles para la modelación de diferentes objetos (desde vehículos, hasta las letras de las impresoras), fueron también introducidas de manera simultanea por Paul de Casteljau (físico-matemático), quien presentó también en 1959, un algoritmo computacional muy estable para el despliegue, control y diseño de los splines de Bézier.

El objetivo de esta conferencia es estudiar brevemente las curvas de Bézier de grado 3 y sus propiedades, diseñar y controlar nuevos splines a partir de su expresión algebraica como opuesto a estudiarlos a partir de su expresión paramétrica (A-splines) y utilizar los splines de Bézier de grado 2, para el diseño de otras estructuras geométricas tales como superficies tubulares y “path splines” o splines de caminos.

La propuesta inicial de diseñar y controlar los A-splines, se le debe a Sederber. Consiste en aplicar las propiedades geométricas de las curvas algebraicas, tales como interpolación, tangencia, curvatura, etc., para construir estos splines, inclusive usando aquellas curvas que no tienen una representación paramétrica. En particular estudiaremos las A-splines de grado 3.

Para el diseño de superficies tubulares, vamos a estudiar la representación esferas como puntos del exterior de un paraboloide de revolución en , el cual es una extensión del modelo de representación de círculos presentado por Dan Pedoe. Utilizando las propiedades geométricas de los splines de Bézier de grado 2, se construye otro spline en 3D, que consiste de segmentos de una superficie implícita de grado algebraico cuatro. Esta es, la superficie envolvente de una familia monoparamétrica de esferas. La familia de esferas que define cada segmento de envolvente, resulta de la representación de una cónica de Bezier en . Mostraremos que al construir un spline cónico en con clase (recta tangente continua), el spline tubular también resulta de clase (planos tangentes continuos, a través de la curva de contacto).

Finalmente, los path splines, resultan del caso particular, cuando la curva de centros de las esferas de una sección del spline tubular yace en un plano. En este caso, se estudia el diseño de un A-spline, que consta de dos segmentos de curvas que se despliegan simultáneamente, similar a un camino. Estudiaremos sus propiedades, conexión, curva central y asas de control.