20 de septiembre 2010: Tópicos en escalamiento: coeficiente de Hurst, dimensión fractal, multifraccionalidad y multifractalidad

El pasado lunes 20 de septiembre la Dra. Carenne Ludeña, profesora de IVIC, dictó la primera charla del semestre en el Coloquio de Matemática. A continuación el resumen de su charla.

Tópicos en escalamiento: coeficiente de Hurst, dimensión fractal, multifraccionalidad y multifractalidad

El efecto de Hurst alude a un fenómeno de dependencia o persistencia en las observaciones que da origen a un decaimiento de las correlaciones de datos lejanos mucho más lento del esperado en modelos Markovianos (de memoria corta). Como consecuencia la media de las observaciones no satisface el esperado comportamiento asintótico siendo su varianza de orden de n elevado a 2H-2 con H entre 0 y 1 y no n con potencia -1. El parámetro H se llama el coeficiente de Hurst y se dice que el proceso subyacente es fuertemente dependiente si H es mayor que 1/2. Los ejemplos por excelencia corresponden al movimiento Browniano fraccionario, (mBf) proceso gaussiano autosimilar, centrado y de incrementos estacionarios y su "derivada" el ruido Browniano fraccionario (rBf). En este caso el parámetro H también caracteriza la regularidad local o la llamada dimensión fractal del proceso, y de este modo suelen considerarse de manera conjunta ambos conceptos. Sin embargo, el primero es determinado por el comportamiento global del proceso observado sobre largos períodos de tiempo y el segundo por el comportamiento local del proceso observado sobre una muestra cada vez más densa. En esta charla, a partir del mBf, visitaremos ambos conceptos presentando algunos modelos y aplicaciones así como estrategias de estimación y generalizaciones introduciendo procesos multifraccionarios y difusiones basadas en el mBf por un lado y procesos multifractales por otro.

Nuevo semestre para el Coloquio - Cambio de horario y lugar

Comienza un nuevo semestre y vuelve el Coloquio de Matemática.

Este semestre el Coloquio tendrá nuevo horario y lugar, este semestre será a las 4:30 pm y ahora se realizará en el aula 07 de la Facultad de Ciencias.

Esperamos, como siempre, contar con su asistencia. Buen comienzo de semestre para todos!

14 de junio 2010: Desigualdad general de L´Hopital

El lunes 14 de junio el Dr. Carlos Finol, profesor jubilado de la escuela de Matemática, UCV nos mostró una sencilla demostración de una desigualdad que generaliza la regla de L'Hopital, además de hablarnos sobre diferentes identidades, sencillas, pero muy interesantes. Una charla muy amena para cerrar este ciclo del coloquio. Aquí les dejamos el resumen de su charla.

Desigualdad general de L´Hopital

Sean f,g funciones reales, diferenciables, definidas en un intervalo (a,b) y tales que, existe un punto t en (a,b), donde f y g se anulan. Supongamos también que, existe un entorno de t donde g es distinta de cero. Entonces se tiene que el límite inferior, en t, del cociente de las derivadas de las funciones, es menor o igual al límite inferior del cociente de las funciones; también, el límite superior, en t, del cociente de las funciones, es menor o igual al límite superior del cociente de las derivadas. La regla de L´Hopital se deduce de inmediato de estas desigualdades.

07 de junio 2010: Tres versiones combinatorias de la formula de inversión de Lagrange en una variable

El lunes 07 de junio el MsC. Jean Carlos Liendo, profesor de la escuela de Matemática, UCV, demostró, usando técnicas de especies combinatorias y antípodas asociadas, tres versiones de la fórmula de inversión de Lagrange para series formales, con respecto a la operación de sustitución. Aquí está el resumen de su charla.

Tres versiones combinatorias de la formula de inversión de Lagrange en una variable

Un problema álgebraico-combinatorio es hallar la fórmula de la inversa con respecto a la substitución a una serie formal. Esta es bien conocida como la fórmula de inversión de Lagrange. Gian Carlo Rota se dio cuenta que la fórmula de inversión de Lagrange se puede interpretar de manera recursiva a través de árboles. Esta es la idea inicial de la siguiente construcción:

Un operad conjuntístico es una familia de estructuras combinatorias junto a un mecanismo de ensamblaje o multiplicación entre las estructuras combinatorias de la misma familia. En el lenguaje de la teoría de categoría un operad es un monoide en la categoría de las especies positivas junto a la operación de substitución. Usando la especie uniforme positiva se define un operad conjuntístico y a partir de este operad obtenemos el álgebra de Hopf de Faá di Bruno. Hayman-Schmitt obtienen una formula para la antípoda de esta álgebra en términos de árboles. Desde esta antípoda se obtiene una nueva formula de inversión de Lagrange para series formales en términos de árboles y en términos de los polinomios exponenciales de Bell. Usando la especie uniforme punteada construimos de manera similar el álgebra de Hopf de Faá di Bruno punteada y obtenemos una formula combinatoria para su antípoda que generaliza a la de Hayman-Schmitt. Reformulamos la prueba combinatoria de la fórmula clásica de inversión de Lagrange presentada por William Y. Chen en términos de la antípoda de esta álgebra.

31 mayo 2010: La estimación de de la función de densidad. Un paseo al azar por la estimación no paramétrica

El lunes 31 de mayo el Dr. Ricardo Rios, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos habló un poco sobre la estadística no paramétrica y nos mostró como estimar densidades, a partir de muestras aleatorias. A continuación el resumen de su charla.

La estimación de de la función de densidad. Un paseo al azar por la estimación no paramétrica.

El proceso estadístico podría verse en varias etapas: diseño de experimento, selección de muestras, pruebas de hipótesis, determinación del modelo probabilístico subyacente y predicción. En todos esos pasos, el conocimiento de la función de densidad con respecto a la medida de contar, la de Lebesgue o cualquier medida regular tiene un rol preponderante. La estructura unimodal del histograma de muchas muestras, más la universalidad del Teorema del Límite Central hicieron de la densidad gaussiana o de Laplace la reina de la densidades, siendo ésta descrita por sus parámetros de centramiento y de dispersión. Muchos estudios se basan en medir cuan lejos se está de una densidad de Laplace, con todas las formas de medir que tiene la Teoría de la Medida. Generalmente, se suele llamar estadística paramétrica a la que se encarga de dar las mejores estimadores de los parámetros que describen una densidad. Cuando este supuesto es débil, la más de las veces, se suele dejar que "los datos hables por si solos" y se entra en el campo de los modelos no paramétricos, vedados por sus dificultades de uso cuando esto empezó y muy populares ahora gracias a la expansión de las capacidades de cálculo.

Veremos en esta charla cómo el Teorema de Glivenco-Cantelli, llamado por la escuela rusa el Teorema de oro de la Estadística, pasa a ser la clave de una maquinaria muy poderosa de modelación que nos pone a discutir hasta el mismo concepto de función. Centraremos nuestra charla en la estimación no paramétrica de la densidad para datos independientes, sin quitarle el ojo al problema de los datos dependientes, en particular en series temporales.

24 mayo 2010: Soluciones fundamentales para el operador D-$\lambda$ en álgebras de Clifford

El lunes 24 de mayo Antonio Di Teodoro, profesor del departamento de Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar nos habló sobre las álgebras de Clifford y de ciertos problemas que pueden plantearse en éstas, de gran interés en la física y que pueden verse como extensiones de problemas de variable compleja. A continuación el resumen de su charla.

Soluciones fundamentales para el operador D-$\lambda$ en álgebras de Clifford

En esta charla presentaremos un par de soluciones fundamentales para el operador D y D-$\lambda$ (Cauchy-Rieman generalizado y metanalítico) en álgebras de Cliford clásicas y dependiendo de parámetro. La idea es generalizar mediante el álgebra de CliFord la dimensión del espacio donde se trabaja la ecuación de Cauchy-Riemann y la ecuación de Dirac espinorial de forma más simple. Con la contrución de soluciones fundamentales para estos operadores vamos a poder encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales con lados derechos no homogéneos (D-$\lambda$)u = f o (D-$\lambda$)u = F(x; u), soluciones a problemas de valores de frontera y fórmulas de representación de Cauchy-Pompeiu.

18 mayo 2010: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales

El lunes 18 de mayo la Profesora Mariela Castillo nos recordó los diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y nos mostró de una manera muy didáctica como se pueden resolver éstas usando métodos numéricos, centrándose en el método de elemento frontera. Aquí está el resumen de su charla.

Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la naturaleza (la física está llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad (como la evolución de poblaciones). Antes de la aparición de las computadoras, resolver algunas ecuaciones diferenciales podía ser muy difícil, pero en la actualidad resulta muy sencillo obtener soluciones aproximadas que son en general suficientemente buenas para todas las aplicaciones.

El método de Elemento Frontera (BEM) es una técnica numérica que esta bien establecida en ingeniería. La base del método es transformar la ecuación diferencial parcial (EDP), o sistema de EDP'S que simulan un determinado problema físico, en una ecuación integral equivalente (o sistema) por medio del correspondiente Teorema de Green y el uso de la Solución Fundamental correspondiente a la ecuación diferencial adjunta.

En esta charla queremos hablar de las tecnicas que se conoce para resolver ecuaciones diferenciales parciales y la aplicabilidad del método de Elemento Frontera.