El Coloquio de Matemática las desea unas felices fiestas en compañia de sus seres queridos.
Les recordamos que reiniciamos el Coloquio el 10 de enero con la charla de la Investigadora del IVIC, Stella Brassesco.
14 de diciembre de 2011
7 de diciembre de 2011
Charla: Convoluciones de Bernoulli
El pasado martes 06 de diciembre el Dr. Ricardo Rios, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dio una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.
Convoluciones de Bernoulli
La trasformada de Fourier de medidas de Probilidad, conocida como función carcacterística, es una herramienta útil para conocer la medida límite de una sucesión de variables aleatorias. Paul Erdös en 1937 le metió la lupa la distribución límite del proceso AR($1$) estacionario con ruido Bernulli centrado $Y(n+1)=aY(n) + e(n+1)$ con $P(e=1)=P(e=-1)=1/2$ y encontró cosas tan raras como que si $0<|a|<{1 \over 2}$ la ley límite es ortogonal a la medida de Lebesgue: vive en un conjunto tipo Cantor. Conjeturó la medida de Lebesgue de $m(\{a:{1 \over 2} < a < 1 \mbox{ y la ley límite de Y(n) tiene densidad} \})=1,$ cosa que probaron 47 años después. Ese proceso es el ejemplo básico de un proceso estacionario que es débilmente dependiente y no $\alpha$-mixing, según las definiciones que Paul Doukhan dio la semana pasada en la Conferencia León. Si $a=\phi$, el número de Euler, la lay límite no tiene solución. Esto tiene que ver con loas raíces de los polinomios con valores en el intervalo $(-1,1)$ con coeficientes en $\{-1,1\}$. Entre las curiosidades está que la función de regresión se puede estimar de manera no paramétrica a pesar de que la ley del ruido no tiene densidad con respecto a Lebesgue.
30 de noviembre de 2011
Charla: Detectando vértices potenciales de cápsulas convexas de nubes de datos aleatorios
El pasado martes 29 de noviembre el MSc. Jocer Franquiz, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.
Detectando vértices potenciales de cápsulas convexas de nubes de datos
aleatorios
aleatorios
Presentaré los últimos avances de una línea de investigación que comencé a desarrollar en mi tesis de maestría. Se presentarán los últimos avances de un algoritmo nuevo, que tiene como finalidad detectar vértices potenciales de cápsulas convexas de Random Data Clouds (Nubes de Datos Aleatorios).
Dichos vértices son importantes en muchas áreas de investigación, particularmente en el área de Procesamiento Digital de Imágenes. Específicamente en Percepción Remota, y son utilizados en aplicaciones como Target Detection (Detección de Objetivos) y Background Caracterization (Caracterización de Fondo de Imágenes).
Dichos vértices son importantes en muchas áreas de investigación, particularmente en el área de Procesamiento Digital de Imágenes. Específicamente en Percepción Remota, y son utilizados en aplicaciones como Target Detection (Detección de Objetivos) y Background Caracterization (Caracterización de Fondo de Imágenes).
17 de noviembre de 2011
Conferencia León: Análisis, Estadística y Probabilidades
El profesor José R. León R. (Chichi), es reconocido por su brillante carrera matemática con una excepcional labor de investigación, gestión y formación de recursos humanos. Como homenaje a su trayectoria un grupo de colegas y exalumnos han organizando la Conferencia León: Análisis, Estadística y Probabilidades (en estricto orden alfabético) que se realizará en el Auditorio Tobías Lasser de la facultad de Ciencias, UCV del 21 al 25 de Noviembre de 2011. Entre las actividades planificadas se cuentan mini-cursos, conferencias con invitados nacionales e internacionales.Para más información pueden visitar la página web del congreso http://www.matematica.ciens.ucv.ve/chichi_c/index.html.
El Coloquio de Matemática se une a la celebración y los invita a participar en este congreso.
16 de noviembre de 2011
Charla: Dilataciones unitarias en espacios de Hilbert y en espacios de Krein
El pasado martes 15 de noviembre el Lic. Argenis Mendez, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.
Dilataciones unitarias en espacios de Hilbert y en espacios de Krein
En esta charla se expondrán algunos hechos referentes a las dilataciones unitarias en espacios de Hilbert, dentro de los cuales se encuentra el Teorema de Nagy. En el análisis resultado muy importante es el Teorema de Naimark que permite, en cierto sentido, caracterizar los núcleos de Toeplitz a valores operadores que tienen dilataciones unitarias en espacios de Hilbert; sin embargo Arocena [1] plantea el problema de caracterizar los núcleos de Toeplitz a valores operadores que tienen dilataciones unitarias pero sobre espacios de Krein, este resultado se conoce hoy en día como Teorema de Arocena.
En esta charla se expondrán estos resultados, haciendo énfasis en el Teorema de Arocena.
Bibliografía:
[1] AROCENA, R. Scattering functions, Fourier transforms of measures, realization of linear systems and dilations of operators to Krein spaces: a unified approach. Publications Mathématiques d´Orsay 85-02(1985).
[2] SZ.- NAGY, B and FOIAS, C. Harmonic analysis of operators on Hilbert spaces. North Holland (1970).
En esta charla se expondrán estos resultados, haciendo énfasis en el Teorema de Arocena.
Bibliografía:
[1] AROCENA, R. Scattering functions, Fourier transforms of measures, realization of linear systems and dilations of operators to Krein spaces: a unified approach. Publications Mathématiques d´Orsay 85-02(1985).
[2] SZ.- NAGY, B and FOIAS, C. Harmonic analysis of operators on Hilbert spaces. North Holland (1970).
3 de noviembre de 2011
Charla: Cardinales característicos del continuo
El pasado martes 08 de noviembre el Dr. Jesus Nieto, profesor de la Universidad Simón Bolivar nos dió una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.
Cardinales característicos del continuo
En 1878, Cantor se preguntó si todo conjunto no numerable de nùmeros reales tiene la misma cardinalidad de R. La hipótesis del continuo (HC) es que la respuesta a la pregunta de Cantor es sí. El sistema axiomatico más aceptado en teoría de conjuntos se conoce como ZFC. Se sabe que HC no puede refutarse en ZFC (Godel 1938) y tampoco puede demostrarse usando los axiomas de ZFC (Cohen 1963) Una manera de "refinar el problema" es definiendo ciertos cardinales usando conceptos de combinatoria conjuntista que son no numerables y no pueden superar al continuo. Por ejemplo, la menor cardinalidad de un subconjunto de R no medible Lebesgue. Además de ser una herramienta para entender el problema del continuo, estos cardinales tienen relación con distintas ramas de la matemática.
Definiremos algunos de estos cardinales, enunciaremos relaciones entre ellos y mostraremos aplicaciones en álgebra y en topología.
Definiremos algunos de estos cardinales, enunciaremos relaciones entre ellos y mostraremos aplicaciones en álgebra y en topología.
26 de octubre de 2011
Charla: Sobre multifunciones cerradas, continuas y medibles
El pasado martes 01 de noviembre el Dr. Luis Antonio Azocar, profesor de la Universidad Nacional Abierta nos dió una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.
Sobre multifunciones cerradas, continuas y medibles.
La Matemática es una criatura que crece cuando la ocasión y las circunstancias lo permiten, el Análisis Multivaluado y en particular la Teoría de Multifunciones, como rama de las matemáticas tiene menos de 60 años; aún así, ocupa una posición crítica, relevante e importante. En este sentido, esta charla es un intento de presentar a la comunidad Ucevista un “pedacito” de una gran rama. El objeto de este trabajo es el de presentar de forma unificada y lo más general posible el estudio de las Multifunciones, es decir de las funciones de puntos a conjuntos o a veces llamadas correspondencias. La teoría de correspondencias (funciones cuyos valores son conjuntos) es una interesante mezcla de diferentes campos de la matemática como la topología, la teoría de la medida, el análisis funcional no lineal y las matemáticas aplicadas. La necesidad de considerar aplicaciones con conjuntos como valores fue reconocida al comienzo del siglo XX y muchos prominentes matemáticos como Hausdorff, Vietoris, Hahn, y Kuratowski hicieron las primeras investigaciones. Sin embargo, un estudio sistemático solo comenzó en la década de los años sesenta de dicho siglo.
Tocaremos en forma elíptica, algunos resultados sobre continuidad y medibilidad.
19 de octubre de 2011
25 de octubre 2011: Teorema de Pick en álgebras uniformes
El pasado martes 25 de octubre el MSc. Imanol Ajuria, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Teorema de Pick en álgebras uniformesSean $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ en el espacio ideal maximal de un espacio de Hausdorff compacto $X$, $\mu$ una medida de probabilidad en $X$ y $\mathrm{M}^{\mu}$ el subespacio de $L^2(\mu)$ generado por las $N$ funciones $k_{\lambda_i}^\mu$ asociadas a los puntos $\lambda_i$ a través del teorema de representación de Riesz. En este trabajo se anuncia que existe una medida de probabilidad $\mu_0$ en $X$ tal que la función constantemente igual a 1 está en $\mathrm{M}^{\mu_0}$. También se anuncian aplicaciones de este resultado para parametrizar las soluciones del problema de interpolación asociado a $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$.
11 de octubre de 2011
18 de octubre 2011: Una cooperación del Análisis de Componentes Principales con el Análisis Envolvente de Datos
El pasado martes 18 de octubre el MSc. Tomás León, Especialista del Banco Exterior nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Una cooperación del Análisis de Componentes Principales con el Análisis Envolvente de Datos
En el presente trabajo se aplicará la técnica del Análisis Envolvente de Datos (AED) y un método integrado de Análisis de Componentes Principales (ACP) con Análisis Envolvente de Datos, esto siguiendo la orientación de diferentes autores (Shanmugam (2007), Zhu (1998)). La idea del presente trabajo, más que hacer meras comparaciones sobre el AED y el ACP-AED como clasificadores de eficiencia, es medir el error que se comete sobre la toma de decisiones al usar uno u otro modelo, para lo cual se hace estudio de los mismos sobre una frontera promedio generada con Bootstrap, con esta técnica se determina que uno de los modelos AED (BCC) integrado con el ACP brinda una gran cantidad de información; la cual es más robusta que la de los demás modelos.
Anexo al estudio integrado se realiza un trabajo sobre las deformaciones que sufre la cápsula envolvente generada por el AED, lo cual se genera a partir de un método de Validación Cruzada y con lo que se ve que la frontera de eficiencia (vértices de la cápsula envolvente), presenta robustez siempre y cuando los elementos cambiados no sean los que forman los vértices.
5 de octubre de 2011
11 de octubre 2011: Mathematics Education in Renaissance Europe
El pasado martes 11 de octubre la Dr. Ann Moyer, profesora del Departamento de Historia de la Universidad de Pennsylvania, en USA nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas, en el marco del Seminario de Geometría, Seminario de Ecuaciones Diferenciales, la Cátedra de Modelos Económicos del Banco Central de Venezuela y el CEIDEC 2011. A continuación un resumen de su charla.
Mathematics Education in Renaissance Europe
Not all Europeans shared the tradition of mathematics education that produced rithmomachia. Italian schools in particular thought of mathematics more as we would today, as a set of tools for solving problems. By the late Renaissance this approach won out, and rithmomachia faded away. This transition helped make possible the rapid advances in mathematics that have characterized the field ever since, and I will focus on that change. But we will also want to reflect on what was lost when the study of number was no longer taught as a guide to contemplation and virtue.
10 de octubre 2011: Rithmomachia in Medieval and Renaissance Europe
El pasado lunes 10 de octubre la Dr. Ann Moyer, profesora del Departamento de Historia de la Universidad de Pennsylvania, en USA nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas, en el marco del Seminario de Geometría, Seminario de Ecuaciones Diferenciales, la Cátedra de Modelos Económicos del Banco Central de Venezuela y el CEIDEC 2011. A continuación un resumen de su charla.
Rithmomachia in Medieval and Renaissance Europe
In these two talks I will address a common theme: what did medieval and Renaissance Europeans mean when they identified mathematical study as a liberal art, part of general education? I will focus first on an educational game called rithmomachia, or the "philosophers' game," ludus philosophorum, invented in the eleventh century and played until about 1600. It helped students to learn and to practice the study of number found in the textbooks of Boethius (ca. 480–524), a work seldom read or used today. The game’s spread and popularity helps to explain how mathematical study was believed to build character and morality in students.
2 de agosto de 2011
03 de agosto 2011: Más allá de la periodicidad en los mapas contractivos a trozos
El pasado martes 02 de agosto el Dr. Pierre Guiraud del Departamento de Estadística, Facultad de Ciencias de la Universidad de Valparaiso, Chile, nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Más allá de la periodicidad en los mapas contractivos a trozos.
En esta charla estudiaremos una clase amplía de sistemas dinámicos definidos por iteración de un mapa contractivo a trozos con espacio de fase compacto y localmente conexo. Estamos interesados en la estructura topológica del atractor global. Veremos que a pesar del aspecto contractivo de los mapas, la presencia de discontinuidades permite una gran diversidad de comportamiento asimptóticos: presentaremos una serie de ejemplos que demuestran que el atractor puede ser finito, infinito numeral o infinito no numerable.
30 de julio de 2011
02 de agosto 2011: Pares de Cotorsión y Estructuras Abelianas de Modelo
El pasado martes 02 de agosto el MSc. Marco Pérez,eudiante doctoral en la Universidad de Québec à Montré nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
El concepto de par de cotorsión en categorías abelianas es una noción que generaliza simultáneamente las de niciones de objeto inyectivo y objeto proyectivo. Tal concepto fue introducido por Luigi Salce en los años 60 para la categoría de grupos abelianos, usando el functor Hom. Años más tarde, Edgar Enochs redescubre este concepto en la categoría de módulos sobre un anillo, esta vez reemplazando el funtor Hom por el funtor Ext.
Paralelamente, a fi nales de los años 60, Daniel Quillen introduce el concepto categoría de modelo, llevando las nociones de la teoría de homotopía en espacios topológicos a situaciones más generales.
En años recientes, Mark Hovey estudió algunas relaciones entre los pares de cotorsión y las categorías de modelo. El objetivo de esta charla es presentar las construcciones dadas por Hovey en [1]. Construiremos una categoría con estructura abeliana de modelo a partir de un par de cotorsión completo. Una pregunta interesante al respecto es si se puede ir en la otra dirección, es decir, construir un par de cotorsión completo a partir de una categoría con estructura abeliana de modelo. La respuesta es que sí. Si el tiempo lo permite, daremos una descripción de esta construcción.
Referencias
[1] Hovey, M. Cotorsion theories, model category structures, and representation theory. Mathematische Zeitschrift. Vol. 241. 553-592. (2002).
[2] Hovey, M. Cotorsion pairs and model categories. Interactions between homotopy theory and algebra. Contemporary Mathematics. V. 436. 277-296. (2007).
[3] Para la parte de categorías de modelo: Hovey, M. Model Categories. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. Providence (2007).
[4] Para la parte de pares de cotorsión: Enochs, E.; Jenda, O. Relative Homological Algebra. De Gruyter Expositions in Mathematics. Berlin (2000).
Pares de Cotorsión y Estructuras Abelianas de Modelo
El concepto de par de cotorsión en categorías abelianas es una noción que generaliza simultáneamente las de niciones de objeto inyectivo y objeto proyectivo. Tal concepto fue introducido por Luigi Salce en los años 60 para la categoría de grupos abelianos, usando el functor Hom. Años más tarde, Edgar Enochs redescubre este concepto en la categoría de módulos sobre un anillo, esta vez reemplazando el funtor Hom por el funtor Ext.
Paralelamente, a fi nales de los años 60, Daniel Quillen introduce el concepto categoría de modelo, llevando las nociones de la teoría de homotopía en espacios topológicos a situaciones más generales.
En años recientes, Mark Hovey estudió algunas relaciones entre los pares de cotorsión y las categorías de modelo. El objetivo de esta charla es presentar las construcciones dadas por Hovey en [1]. Construiremos una categoría con estructura abeliana de modelo a partir de un par de cotorsión completo. Una pregunta interesante al respecto es si se puede ir en la otra dirección, es decir, construir un par de cotorsión completo a partir de una categoría con estructura abeliana de modelo. La respuesta es que sí. Si el tiempo lo permite, daremos una descripción de esta construcción.
Referencias
[1] Hovey, M. Cotorsion theories, model category structures, and representation theory. Mathematische Zeitschrift. Vol. 241. 553-592. (2002).
[2] Hovey, M. Cotorsion pairs and model categories. Interactions between homotopy theory and algebra. Contemporary Mathematics. V. 436. 277-296. (2007).
[3] Para la parte de categorías de modelo: Hovey, M. Model Categories. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. Providence (2007).
[4] Para la parte de pares de cotorsión: Enochs, E.; Jenda, O. Relative Homological Algebra. De Gruyter Expositions in Mathematics. Berlin (2000).
23 de julio de 2011
26 de julio 2011: Splines
El pasado martes 26 de julio el Dr. Francisco Tovar, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Splines
Cuando en los cursos de cálculo numérico básico aparece la palabra “splines”, seguramente es referida a problemas de interpolación. Esto es, dada una partición del intervalo y las respectivas alturas, dadas por alguna función , se pretende construir una familia de n-1 polinomios de grado bajo (usualmente 3), con el fin de que cada polinomio interpole los pares , y a demás la conexión entre dos polinomios adyacentes sea suave (de clase al menos). En este sentido, se estudian varios autores tales como Newton, Lagrange, Hermite, etc. Sin embargo, en el año 1959, aparecen los splines de Bézier (introducidos por Pierre Etienne Bézier): curvas y superficies, que le dan un gran impulso al campo de la modelación geométrica y que permitió el desarrollo de una nueva área entre las matemáticas y la computación: Modelación Geométrica Asistida por el Computador (CAGD). El desarrollo de estas curvas y superficies como herramientas útiles para la modelación de diferentes objetos (desde vehículos, hasta las letras de las impresoras), fueron también introducidas de manera simultanea por Paul de Casteljau (físico-matemático), quien presentó también en 1959, un algoritmo computacional muy estable para el despliegue, control y diseño de los splines de Bézier.
El objetivo de esta conferencia es estudiar brevemente las curvas de Bézier de grado 3 y sus propiedades, diseñar y controlar nuevos splines a partir de su expresión algebraica como opuesto a estudiarlos a partir de su expresión paramétrica (A-splines) y utilizar los splines de Bézier de grado 2, para el diseño de otras estructuras geométricas tales como superficies tubulares y “path splines” o splines de caminos.
La propuesta inicial de diseñar y controlar los A-splines, se le debe a Sederber. Consiste en aplicar las propiedades geométricas de las curvas algebraicas, tales como interpolación, tangencia, curvatura, etc., para construir estos splines, inclusive usando aquellas curvas que no tienen una representación paramétrica. En particular estudiaremos las A-splines de grado 3.
Para el diseño de superficies tubulares, vamos a estudiar la representación esferas como puntos del exterior de un paraboloide de revolución en , el cual es una extensión del modelo de representación de círculos presentado por Dan Pedoe. Utilizando las propiedades geométricas de los splines de Bézier de grado 2, se construye otro spline en 3D, que consiste de segmentos de una superficie implícita de grado algebraico cuatro. Esta es, la superficie envolvente de una familia monoparamétrica de esferas. La familia de esferas que define cada segmento de envolvente, resulta de la representación de una cónica de Bezier en . Mostraremos que al construir un spline cónico en con clase (recta tangente continua), el spline tubular también resulta de clase (planos tangentes continuos, a través de la curva de contacto).
Finalmente, los path splines, resultan del caso particular, cuando la curva de centros de las esferas de una sección del spline tubular yace en un plano. En este caso, se estudia el diseño de un A-spline, que consta de dos segmentos de curvas que se despliegan simultáneamente, similar a un camino. Estudiaremos sus propiedades, conexión, curva central y asas de control.
7 de julio de 2011
12 de julio 2011: Solución de un sistema infinito de ecuaciones lineales en espacio de Hilbert con núcleo reproductivo
El pasado martes 12 de julio el Lic. Andrés Contreras, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
En esta charla se dará una breve introducción a la teoría de espacios de Hilbert con núcleo reproductivo. Entre los puntos a tratar en esta introducción se encuentran estudiar condiciones necesarias y suficientes para que un espacio de Hilbert posea núcleo reproductivo, ver algunas propiedades importantes de los núcleos y dar algunos ejemplos clásicos. Utilizando toda las maquinaria de los núcleos reproductivos, y herramientas propias del análisis funcional, se estudiará un método que permite resolver sistemas infinitos de ecuaciones lineales en espacios de Hilbert con núcleo reproductivo.
Solución de un sistema infinito de ecuaciones lineales en espacio de Hilbert con núcleo reproductivo
En esta charla se dará una breve introducción a la teoría de espacios de Hilbert con núcleo reproductivo. Entre los puntos a tratar en esta introducción se encuentran estudiar condiciones necesarias y suficientes para que un espacio de Hilbert posea núcleo reproductivo, ver algunas propiedades importantes de los núcleos y dar algunos ejemplos clásicos. Utilizando toda las maquinaria de los núcleos reproductivos, y herramientas propias del análisis funcional, se estudiará un método que permite resolver sistemas infinitos de ecuaciones lineales en espacios de Hilbert con núcleo reproductivo.
16 de junio de 2011
28 de junio 2011: Geometría de Campos Aleatorios y Algunas Aplicaciones
El pasado martes 28 de junio el Lic. José Gregorio Gómez, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Un Campo Aleatorio no es más que un proceso estocástico que toma valores en un espacio Euclidiano definido sobre un espacio de parámetros de dimensián $d\geq 1$. Formalmente, dado un espacio de probabilidad, un Campo Aleatorio es una familia de funciones medibles $\{Z(t): t \in \textbf{T}\}$, donde $T$ es un espacio topológico o una variedad.
En este trabajo se expondrá el estudio algunas propiedades geométricas de los campos aleatorios como curvaturas, tangencia, puntos críticos, áreas, característica de Euler, etc. Por otro lado en un ambiente "más probabilístico" estudiamos la esperanza del número de raíces (o niveles) de la ecuación aleatoria $Z(t)=z$ para t en un conjunto compacto $B$ de $T$. Tal número esperado de raíces se calcula mediante la fórmula Kac - Rice cuya prueba esta basada mediante el uso de la fórmula del Área y las técnicas de Azais-Wschebor (2009). Luego se expone una aplicación concreta en el estudio de imágenes producidas por microlentes gravitacionales aleatorios clasificando el tipo de imágenes (elípticas, de ensilladura, eáusticas) y los valores esperados del número de éstas mediante el uso de las Desigualdades de Morse. Finalmente se cierra con comentarios sobre otras aplicaciones del estudio de campos aleatorios en ciencias como oceanografía, neurología, etc.
Geometría de Campos Aleatorios y Algunas Aplicaciones
Un Campo Aleatorio no es más que un proceso estocástico que toma valores en un espacio Euclidiano definido sobre un espacio de parámetros de dimensián $d\geq 1$. Formalmente, dado un espacio de probabilidad, un Campo Aleatorio es una familia de funciones medibles $\{Z(t): t \in \textbf{T}\}$, donde $T$ es un espacio topológico o una variedad.
En este trabajo se expondrá el estudio algunas propiedades geométricas de los campos aleatorios como curvaturas, tangencia, puntos críticos, áreas, característica de Euler, etc. Por otro lado en un ambiente "más probabilístico" estudiamos la esperanza del número de raíces (o niveles) de la ecuación aleatoria $Z(t)=z$ para t en un conjunto compacto $B$ de $T$. Tal número esperado de raíces se calcula mediante la fórmula Kac - Rice cuya prueba esta basada mediante el uso de la fórmula del Área y las técnicas de Azais-Wschebor (2009). Luego se expone una aplicación concreta en el estudio de imágenes producidas por microlentes gravitacionales aleatorios clasificando el tipo de imágenes (elípticas, de ensilladura, eáusticas) y los valores esperados del número de éstas mediante el uso de las Desigualdades de Morse. Finalmente se cierra con comentarios sobre otras aplicaciones del estudio de campos aleatorios en ciencias como oceanografía, neurología, etc.
21 de junio 2011: Comentarios sobre Funciones Fuertemente Convexas
El pasado martes 21 de junio el Dr. Nelson Merentes, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
En este trabajo algunas propiedades de las funciones fuertemente convexas son presentadas. Una caracterización de pares de funciones que pueden ser separadas por funciones fuertemente convexas y unos resultados de estabilidad del tipo Hyers Ulam para funciones convexas son presentados. También desigualdades del tipo Jensen y Hermite-Hadamar la establecemos para este tipo de funciones. Finalmente demostramos unas relaciones entre convexidad fuerte y convexidad generalizada en el sentido de Backenbach.
Articulo: Remarks On Strongly Convex Functions. N. Merentes and K. Nikodem aceptado en la revista Aequations Math 80 (2010), 193-199
Comentarios sobre Funciones Fuertemente Convexas
Dedicado al Profesor Janusz Aczél en sus 85 años
Dedicado al Profesor Janusz Aczél en sus 85 años
En este trabajo algunas propiedades de las funciones fuertemente convexas son presentadas. Una caracterización de pares de funciones que pueden ser separadas por funciones fuertemente convexas y unos resultados de estabilidad del tipo Hyers Ulam para funciones convexas son presentados. También desigualdades del tipo Jensen y Hermite-Hadamar la establecemos para este tipo de funciones. Finalmente demostramos unas relaciones entre convexidad fuerte y convexidad generalizada en el sentido de Backenbach.
Articulo: Remarks On Strongly Convex Functions. N. Merentes and K. Nikodem aceptado en la revista Aequations Math 80 (2010), 193-199
9 de junio de 2011
14 de junio 2011: El grupo topológico Aut(Q,<) es extreamadamente dócil
El pasado martes 14 de junio la Lic. Daniela Torrealba, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Decimos que un grupo topológico G es extremadamente dócil, o que tiene la propiedad de punto fijo sobre compactos, si toda acción contínua de G en un espacio compacto X admite un punto fijo, esto es, para algún x en X y todo g en G se tiene que g . x = x.
Un importante ejemplo de un grrupo extremadamente dócil es Aut(Q,<), el grupo topológico de todas las biyecciones en Q que preservan el orden, en el sentido siguiente:para toda f en Aut(Q,<); p < q implica que f(p) < f(q).
El grupo topológico Aut(Q,<) es extreamadamente dócil
Decimos que un grupo topológico G es extremadamente dócil, o que tiene la propiedad de punto fijo sobre compactos, si toda acción contínua de G en un espacio compacto X admite un punto fijo, esto es, para algún x en X y todo g en G se tiene que g . x = x.
Un importante ejemplo de un grrupo extremadamente dócil es Aut(Q,<), el grupo topológico de todas las biyecciones en Q que preservan el orden, en el sentido siguiente:para toda f en Aut(Q,<); p < q implica que f(p) < f(q).
2 de junio de 2011
07 de junio 2011: no se pudo realizar
El pasado martes 07 de junil, la charla programada a ser dictada por el Francisco Tovar, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV, titulada "Geometría computacional" no se pudo realizar. Esta charla será reprogramada.
26 de mayo de 2011
31 de mayo 2011: Procesos Autorregresivos no Lineales de Primer Orden
El pasado martes 31 de mayo la MsC. Angie Pineda, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
En esta charla consideraremos procesos estocásticos $\mathbf{X}=(X_n)_{n\geq1},$ que se definen a partir de: una variable aleatoria $X$ con distribución $\pi$ sobre un espacio medible $(\Omega, \mathcal{F}),$ una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ medible con respecto a la $\sigma-$álgebra de Borel y una sucesión $(\epsilon_n)_{n\geq1}$ de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con ley $\mu,$ como sigue
$ X_0= X y X_n=f( X_{n-1})+ \epsilon_{n-1} $ para $n\geq1.$
Estos procesos son llamados autorregresivos lineales y no lineales de primer orden (si f es una recta, es un autorregresivo lineal y de lo contrario es no lineal). Se hará especial énfasis en el caso no lineal y por esta razón denotaremos al proceso definido anteriormente por ANL (autorregresivo no lineal), aunque todos los resultados que se consideran también son válidos para el caso lineal.
En la primera parte de la charla veremos que el ANL es una cadena de Markov y se consideraran las propiedades Markovianas del proceso.
En la segundo parte consideraremos una serie de teoremas límites, entre los que resaltan versiones de la ley fuerte de los grandes números (teorema ergódico) y del teorema central del límite que no dependen de la independencia de los elementos del proceso. Para justificar el uso de las conclusiones de estos teoremas se consideran las propiedades de las cadenas de Markov asociadas con las nociones de ergodicidad, ergodicidad geométrica, existencia de la medida invariante y mixing.
Para finalizar, bajo el supuesto de que una muestra aleatoria simple $X_0,X_1...X_n$ es tomada de un proceso autorregresivo de primer orden, para tres ejemplos específicos del ANL, se construyen estimadores $f_n$ de la función $f$ que caracteriza el proceso y se concluye (para los ejemplos $1$ y $2$), la convergencia casi segura de $f_n$ a $f$ y la convergencia en distribución de $f_n$ a una v.a $N,$ normalmente distribuida de parámetros $0$ y $\sigma^2<\infty$ y para el ejemplo $3$ la convergencia en probabilidad de $f_n$ a $f.$
Procesos Autorregresivos no Lineales de Primer Orden
En esta charla consideraremos procesos estocásticos $\mathbf{X}=(X_n)_{n\geq1},$ que se definen a partir de: una variable aleatoria $X$ con distribución $\pi$ sobre un espacio medible $(\Omega, \mathcal{F}),$ una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ medible con respecto a la $\sigma-$álgebra de Borel y una sucesión $(\epsilon_n)_{n\geq1}$ de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con ley $\mu,$ como sigue
$ X_0= X y X_n=f( X_{n-1})+ \epsilon_{n-1} $ para $n\geq1.$
Estos procesos son llamados autorregresivos lineales y no lineales de primer orden (si f es una recta, es un autorregresivo lineal y de lo contrario es no lineal). Se hará especial énfasis en el caso no lineal y por esta razón denotaremos al proceso definido anteriormente por ANL (autorregresivo no lineal), aunque todos los resultados que se consideran también son válidos para el caso lineal.
En la primera parte de la charla veremos que el ANL es una cadena de Markov y se consideraran las propiedades Markovianas del proceso.
En la segundo parte consideraremos una serie de teoremas límites, entre los que resaltan versiones de la ley fuerte de los grandes números (teorema ergódico) y del teorema central del límite que no dependen de la independencia de los elementos del proceso. Para justificar el uso de las conclusiones de estos teoremas se consideran las propiedades de las cadenas de Markov asociadas con las nociones de ergodicidad, ergodicidad geométrica, existencia de la medida invariante y mixing.
Para finalizar, bajo el supuesto de que una muestra aleatoria simple $X_0,X_1...X_n$ es tomada de un proceso autorregresivo de primer orden, para tres ejemplos específicos del ANL, se construyen estimadores $f_n$ de la función $f$ que caracteriza el proceso y se concluye (para los ejemplos $1$ y $2$), la convergencia casi segura de $f_n$ a $f$ y la convergencia en distribución de $f_n$ a una v.a $N,$ normalmente distribuida de parámetros $0$ y $\sigma^2<\infty$ y para el ejemplo $3$ la convergencia en probabilidad de $f_n$ a $f.$
19 de mayo de 2011
24 de mayo 2011: no se pudo realizar
El pasado martes 24 de mayo, la charla programada a ser dictada por el Dr. Arnaud Meyroneinc, investigador del Departamento de Matemática del IVIC, titulada "Sobre los conjuntos esencialmente invariantes de los mapas contractivos a trozo" no se pudo realizar. Esta charla será reprogramada.
12 de mayo de 2011
17 de mayo 2011:Relación entre la Escuela de Matemática de la UCV y el Bachillerato
El pasado martes 17 de mayo el Dr. Pedro Alson, profesor jubilado de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
La charla estará orientada hacia tres objetivos principales.
En primer lugar tratar de reflexionar sobre los conceptos que podrían posibilitar esa relación.
En segundo lugar exponer algunos avances en la construcción de esa relación.
Finalmente explorar implicaciones que podría tener esa relación para la escuela de Matemática.
Relación entre la Escuela de Matemática de la UCV y el Bachillerato
La charla estará orientada hacia tres objetivos principales.
En primer lugar tratar de reflexionar sobre los conceptos que podrían posibilitar esa relación.
En segundo lugar exponer algunos avances en la construcción de esa relación.
Finalmente explorar implicaciones que podría tener esa relación para la escuela de Matemática.
5 de mayo de 2011
10 de mayo 2011: no se pudo realizar
El pasado martes 10 de mayo, la charla programada a ser dictada por el Dr. Nelson Merentes, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV, titulada "Comentarios sobre Funciones Fuertemente Convexas. Dedicado al Profesor Janusz Aczél en sus 85 años" no se pudo realizar. Esta charla será reprogramada.
28 de abril de 2011
03 de mayo 2011: cíclides
El pasado martes 03 de mayo el Lic. Jonathan Otero, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Las cíclides es un caso particular de superficies envolventes y son las principales primitivas geométricas usadas en la modelación de estructuras tubulares de radio variable y conexión suave. Una cíclide se define como la superficie envolvente de una de una familia monoparamétrica cuadrática de esferas en el espacio Euclídeo, con centros y radios variables, lo cual implica que una cíclide está formada de perfiles circulares.
En el caso que los centros de la familia de esferas yace en una cónica de Bézier racional, se tiene que cada recta tangente a dicha cónica a través del modelo de Dan Pedoe se corresponde con un haz esferas intersecantes cuyo círculo de contacto es una de los perfiles que conforman la cíclide y usando el algoritmo de De Casteljau se obtiene las rectas tangentes a la cónica y por ende los perfiles circulares de la superficie.
Cíclides
Las cíclides es un caso particular de superficies envolventes y son las principales primitivas geométricas usadas en la modelación de estructuras tubulares de radio variable y conexión suave. Una cíclide se define como la superficie envolvente de una de una familia monoparamétrica cuadrática de esferas en el espacio Euclídeo, con centros y radios variables, lo cual implica que una cíclide está formada de perfiles circulares.
En el caso que los centros de la familia de esferas yace en una cónica de Bézier racional, se tiene que cada recta tangente a dicha cónica a través del modelo de Dan Pedoe se corresponde con un haz esferas intersecantes cuyo círculo de contacto es una de los perfiles que conforman la cíclide y usando el algoritmo de De Casteljau se obtiene las rectas tangentes a la cónica y por ende los perfiles circulares de la superficie.
21 de abril de 2011
26 de abril 2011: P-límites asociados a ultrafiltros en espacios uniformes
El pasado martes 26 de abril la Lic. Yeiremi Freites, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
En esta charla presentaremos algunos resultados análogos al los expuestos en [1] con el objetivo principal de estudiar y caracterizar la continuidad del límite asociado a un ultrafiltro de la iteración de la función de un sistema dinámico partiendo de un espacio uniforme; pasando por caracterizar dicho límite (asociado a un ultrafiltro p) cuando p es un p-Punto y cuando p es selectivo.
Referencias:
[1] S. García-Ferreira, M. Sanchis. Ultrafilters limit points in metric dynamical systems. Comment.Math.Univ.Carolin. 48,3(2007). 465-485.
[2] S. García-Ferreira. Ultrafiltros sobre N y sistemas dinámicos discretos. XXIII Escuela venezolana de matemáticas (EMALCA-Venezuela). Mérida 2010.
P-límites asociados a ultrafiltros en espacios uniformes
En esta charla presentaremos algunos resultados análogos al los expuestos en [1] con el objetivo principal de estudiar y caracterizar la continuidad del límite asociado a un ultrafiltro de la iteración de la función de un sistema dinámico partiendo de un espacio uniforme; pasando por caracterizar dicho límite (asociado a un ultrafiltro p) cuando p es un p-Punto y cuando p es selectivo.
Referencias:
[1] S. García-Ferreira, M. Sanchis. Ultrafilters limit points in metric dynamical systems. Comment.Math.Univ.Carolin. 48,3(2007). 465-485.
[2] S. García-Ferreira. Ultrafiltros sobre N y sistemas dinámicos discretos. XXIII Escuela venezolana de matemáticas (EMALCA-Venezuela). Mérida 2010.
7 de abril de 2011
12 de abril 2011: Cálculo diferencial combinatorio
El pasado martes 12 de abril el Dr. Miguel Mendez, profesor del Departamento de Matemática de IVIC nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
El cálculo diferencial combinatorio se inició con Macmahon en el siglo XIX, pero su formalización completa fue dada por A. Joyal en 1981.
En esta charla comenzaremos dando la definición combinatorial de derivada. Daremos demostraciones combinatorias de la regla del producto y de la cadena, la fórmula de Cayley para el número de árboles, para finalizar con una demostración biyectiva de la fórmula Gustav Doetsch para el cálculo de la exponencial de la derivada segunda aplicada a la función exponencial.
Cálculo diferencial combinatorio
El cálculo diferencial combinatorio se inició con Macmahon en el siglo XIX, pero su formalización completa fue dada por A. Joyal en 1981.
En esta charla comenzaremos dando la definición combinatorial de derivada. Daremos demostraciones combinatorias de la regla del producto y de la cadena, la fórmula de Cayley para el número de árboles, para finalizar con una demostración biyectiva de la fórmula Gustav Doetsch para el cálculo de la exponencial de la derivada segunda aplicada a la función exponencial.
31 de marzo de 2011
05 de abril 2011: Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano
El pasado martes 05 de abril el Dr. Alfredo Rios, profesor del Departamento de Matemática de la USB nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
En la segunda mitad de la década de los setenta del siglo pasado, Burgess Davis publicó un par de artículos en los que explotaba un aspecto de la la interesante conexión entre las funciones analíticas complejas y el proceso estocástico conocido con el nombre de Movimiento Browninano (también llamado Proceso de Wiener). En particular, Burgess Davis presentó una ingeniosa prueba del llamado Pequeño Teorema de Picard (que asegura que la imagen de toda función entera no constante es todo el plano complejo, con la posible exclusión de sólo un punto) haciendo uso de esta conexión.
Mi propósito en esta charla es múltiple:
1. Presentar esta última prueba, haciendo énfasis en las ideas y con un nivel de detalle comprensible para una audiencia general.
2. Ilustrar con ella esa propiedad maravillosa de las matemáticas que permite estudiar hechos desde diversas perspectivas (en este caso, un problema de análisis complejo desde un punto de vista probabilístico).
3. Hablar sobre el Movimiento Browniano, que siempre es agradable.
Las definiciones y propiedades relevantes del movimiento browniano serán presentadas al inicio de la charla.
Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano
En la segunda mitad de la década de los setenta del siglo pasado, Burgess Davis publicó un par de artículos en los que explotaba un aspecto de la la interesante conexión entre las funciones analíticas complejas y el proceso estocástico conocido con el nombre de Movimiento Browninano (también llamado Proceso de Wiener). En particular, Burgess Davis presentó una ingeniosa prueba del llamado Pequeño Teorema de Picard (que asegura que la imagen de toda función entera no constante es todo el plano complejo, con la posible exclusión de sólo un punto) haciendo uso de esta conexión.
Mi propósito en esta charla es múltiple:
1. Presentar esta última prueba, haciendo énfasis en las ideas y con un nivel de detalle comprensible para una audiencia general.
2. Ilustrar con ella esa propiedad maravillosa de las matemáticas que permite estudiar hechos desde diversas perspectivas (en este caso, un problema de análisis complejo desde un punto de vista probabilístico).
3. Hablar sobre el Movimiento Browniano, que siempre es agradable.
Las definiciones y propiedades relevantes del movimiento browniano serán presentadas al inicio de la charla.
24 de marzo de 2011
29 de marzo 2011: Álgebras simétricas cuánticas
El pasado martes 29 de marzo la Dra. Delia Flores, profesora jubilada de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Álgebras Simétricas Cuánticas
Un álgebra simétrica cuántica sobre un cuerpo K, es un álgebra graduada $R=\underset{n\geq o}{\oplus }R_{n}$, donde $R_{0}=K,R_{1}=V$ es un K-espacio con una "trensa" y R es generada como K-álgebra por V.
Hay dos formas de aproximarse al estudio de estas álgebras:
1. Usando teoría de Representación, la que se remota a Riham Ree, 1958 y se continua con Lusztig (1997), Green (1998-2000), Rosso (1998), Flores-Green (200-2005).
2. Trabajando en una categoría tensorial de módulos, cuya estructura induce una trensa. Se inicia con los trabajos de Nichols (1978), continúan, entre otros, Andruskiewich-Schneider, (1999-2000),Takeuchi (2000-2003), Flores 2005.
En esta charla construiremos un álgebra simétrica cuántica a partir de un espacio vectorial V con una trensa b, $S^{b}\left( v\right) ,b:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$ es una aplicación lineal e invertible que satisface la ecuación de Yang-Baxter
$\left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right)
=\left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) .
$
Para esto veremos como la trensa b sobre V, permite obtener una representación del grupo de trensas $B_{n}$ sobre $V^{\otimes n}$, para cada n, usando esta representación definimos una multiplicación $ \ast \equiv Sh$ sobre $T\left( V\right) $ que junto con la inyección u de K en $T\left( V\right) $ nos dá el álgebra $T^{b}\left( V\right) =\left( T\left( V\right) ,Sh,u\right) $, llamada álgebra cuántica. Veremos que la sub-álgebra de $T^{b}\left( V\right) $ generado por $V,S^{b}\left( V\right) $, es un álgebra simétrica cuántica.
Daremos ejemplos que nos permitan ver como los q-números, $\left( n\right) _{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}$, surgen de un modo natural en el contexto de estas álgebras y como el álgebra tensorial $T\left( V\right) $, el álgebra simétrica $S\left( V\right) $ el álgebra exterior $\wedge V\ $ y la q-deformación $S_{q}\left( V\right) $ de $S\left( V\right) $ son casos particulares de álgebras simétricas cuánticas.
Destacaremos un resultado de Rosso que obtiene a $S^{b}\left( V\right) $ como la imagen de un operador de $T\left( V\right) $ en $T^{b}\left( V\right) $, que deja ver a $S^{b}\left( V\right) $ como la simetrización completa de $T^{b}\left( V\right) $ con respecto al grupo de trensas.
Hay dos formas de aproximarse al estudio de estas álgebras:
1. Usando teoría de Representación, la que se remota a Riham Ree, 1958 y se continua con Lusztig (1997), Green (1998-2000), Rosso (1998), Flores-Green (200-2005).
2. Trabajando en una categoría tensorial de módulos, cuya estructura induce una trensa. Se inicia con los trabajos de Nichols (1978), continúan, entre otros, Andruskiewich-Schneider, (1999-2000),Takeuchi (2000-2003), Flores 2005.
En esta charla construiremos un álgebra simétrica cuántica a partir de un espacio vectorial V con una trensa b, $S^{b}\left( v\right) ,b:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$ es una aplicación lineal e invertible que satisface la ecuación de Yang-Baxter
$\left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right)
=\left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) .
$
Para esto veremos como la trensa b sobre V, permite obtener una representación del grupo de trensas $B_{n}$ sobre $V^{\otimes n}$, para cada n, usando esta representación definimos una multiplicación $ \ast \equiv Sh$ sobre $T\left( V\right) $ que junto con la inyección u de K en $T\left( V\right) $ nos dá el álgebra $T^{b}\left( V\right) =\left( T\left( V\right) ,Sh,u\right) $, llamada álgebra cuántica. Veremos que la sub-álgebra de $T^{b}\left( V\right) $ generado por $V,S^{b}\left( V\right) $, es un álgebra simétrica cuántica.
Daremos ejemplos que nos permitan ver como los q-números, $\left( n\right) _{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}$, surgen de un modo natural en el contexto de estas álgebras y como el álgebra tensorial $T\left( V\right) $, el álgebra simétrica $S\left( V\right) $ el álgebra exterior $\wedge V\ $ y la q-deformación $S_{q}\left( V\right) $ de $S\left( V\right) $ son casos particulares de álgebras simétricas cuánticas.
Destacaremos un resultado de Rosso que obtiene a $S^{b}\left( V\right) $ como la imagen de un operador de $T\left( V\right) $ en $T^{b}\left( V\right) $, que deja ver a $S^{b}\left( V\right) $ como la simetrización completa de $T^{b}\left( V\right) $ con respecto al grupo de trensas.
23 de marzo de 2011
Programación del semestre I-2011
Estimados amigos, a continuación esta una lista de los expositores programados para el presente semestre en el Coloquio, junto con el tema que tratarán en su charla ó el título de su charla.
Esperamos verles seguido este semestre.
Expositor | Tema o Titulo de la Charla | |
15 de Marzo | Mercedes Arriojas | Título: Derivados basados en tasas de interés |
22 de Marzo | Angel Padilla | Título: Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción |
29 de Marzo | Delia Flores | Título: Álgebras simétricas cuánticas |
5 de Abril | Alfredo Rios | Título: Una prueba del Teorema de Picard a través del Movimiento Browniano |
12 de Abril | Miguel Mendez | Tema: Operadores diferenciales combinatorios |
26 de Abril | Yeiremi Freites | Tema: Límites asociados a ultra filtros en espacios uniformes |
3 de Mayo | Jonathan Otero | Tema: Cíclides |
10 de Mayo | Nelson Merentes | Título: Funciones fuertemente convexas |
17 de Mayo | Pedro Alson | Título: Relación entre la Escuela de Matemática de la UCV y el bachillerato |
24 de Mayo | Arnaud Meyroneinc | Tema: Sistemas dinámicos |
31 de Mayo | Angie Pineda | Tema: Procesos autoregresivos no lineales |
7 de Junio | Francisco Tovar | Título: Geometría computacional |
14 de Junio | Daniela Torrealba | Tema: Acciones de grupos sobre estructuras finitas |
21 de Junio | Andrés Perez | Tema: |
28 de Junio | José G. Gómez | Tema: Superficies Aleatorias |
12 de Julio | Andrés Contreras | Tema: Sistemas infinitos de ecuaciones en espacios de Hilbert con núcleos reproductivos |
16 de marzo de 2011
22 de marzo 2011: Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción
El pasado martes 22 de marzo el MsC. Angel Padilla, profesor de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
El Teorema de Naimark establece que toda función definida positiva en un grupo abeliano a valores en L(H), donde H es un espacio de Hilbert, posee una dilatación unitaria. A partir de este resultado se pueden dar nuevas demostraciones de algunos resultados de dilatación en la teoría de semigrupos de operadores.
Lo primero que haremos en esta charla es dar la demostración del teorema de Naimark. La idea es construir una forma sesquilineal positiva a partir de la función definida positiva y, pasando a las clases de equivalencia, obtener un producto interno en un espacio de Hilbert, que contiene al espacio de Hilbert original. En este espacio se construye la representación unitaria que dilata a la función definida positiva.
Como aplicación de este resultado daremos a una prueba del teorema de dilatación de Nagy, que establece que toda contracción posee dilatación unitaria minimal.
Teorema de Naimark y la dilatación unitaria de una contracción
El Teorema de Naimark establece que toda función definida positiva en un grupo abeliano a valores en L(H), donde H es un espacio de Hilbert, posee una dilatación unitaria. A partir de este resultado se pueden dar nuevas demostraciones de algunos resultados de dilatación en la teoría de semigrupos de operadores.
Lo primero que haremos en esta charla es dar la demostración del teorema de Naimark. La idea es construir una forma sesquilineal positiva a partir de la función definida positiva y, pasando a las clases de equivalencia, obtener un producto interno en un espacio de Hilbert, que contiene al espacio de Hilbert original. En este espacio se construye la representación unitaria que dilata a la función definida positiva.
Como aplicación de este resultado daremos a una prueba del teorema de dilatación de Nagy, que establece que toda contracción posee dilatación unitaria minimal.
9 de marzo de 2011
15 de marzo 2011: Derivados Basados en Tasas de Interés
El pasado martes 15 de marzo de febrero la Dra. Mercedes Arriojas, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Los mercados de derivados basados en tasas de interés tienen un alto nivel de actividad. En la actualidad, los bonos son considerados como una alternativa interesante de inversión. Por otra parte, las tasas de interés asociadas a estos instrumentos financieros, en general, reflejan la incertidumbre del mercado, lo que hace pertinente la consideración de modelos aleatorios para la descripción del comportamiento de los activos asociados a tasas de interés. Describiremos algunos de los derivados basados en tasas de interés, presentaremos el modelo general de mercado que sirve de contexto para su estudio y mostraremos el uso de este modelo en el problema de valoración de instrumentos basados en tasas de interés.
Derivados Basados en Tasas de Interés
Los mercados de derivados basados en tasas de interés tienen un alto nivel de actividad. En la actualidad, los bonos son considerados como una alternativa interesante de inversión. Por otra parte, las tasas de interés asociadas a estos instrumentos financieros, en general, reflejan la incertidumbre del mercado, lo que hace pertinente la consideración de modelos aleatorios para la descripción del comportamiento de los activos asociados a tasas de interés. Describiremos algunos de los derivados basados en tasas de interés, presentaremos el modelo general de mercado que sirve de contexto para su estudio y mostraremos el uso de este modelo en el problema de valoración de instrumentos basados en tasas de interés.
13 de febrero de 2011
Nuevo horario y sitio de reunión para el Coloquio el próximo semestre
Con la charla del pasado lunes 07 de febrero culminamos el ciclo de charlas por este semestre. Comenzaremos un nuevo ciclo de charlas la semana del 14 de marzo.
El próximo semestre el Coloquio tendrá nuevo horario y lugar, este semestre será los martes a las 2:45 pm y ahora se realizará en la sala Raymundo Chela de la Escuela de Matemáticas, Facultad de Ciencias.
Esperamos, como siempre, contar con su asistencia. Nos vemos en Marzo.
El próximo semestre el Coloquio tendrá nuevo horario y lugar, este semestre será los martes a las 2:45 pm y ahora se realizará en la sala Raymundo Chela de la Escuela de Matemáticas, Facultad de Ciencias.
Esperamos, como siempre, contar con su asistencia. Nos vemos en Marzo.
2 de febrero de 2011
07 de febrero 2011: Tópicos en Teoría de Operadores. Dedicado a Cora Sadosky
El pasado lunes 07 de febrero la Dra. Maria Dolores Morán, profesor jubilado de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
El Análisis Funcional es la rama de las Matemáticas que usa la intuición y lenguaje de la geometría para el estudio de las funciones (N. Young). La Teoría de Operadores es el estudio de operadores lineales o de clases estos. Estas dos definiciones contienen la suficiente belleza como para ser de gran interés.
Por otro lado las máquinas con dispositivo automático de control son cada vez más significantes en la sociedad. Usando las ideas de la Teoría de Control, en el interludio del Análisis Complejo y la Teoría de Operadores con la Ingeniería aparecen problemas como el de Nevanlinna-Pick, el cual planteamos dentro del marco del Teorema de levantamiento del conmutante de Foias (TLC a continuación).
Describimos las soluciones del TLC con la ayuda del modelo de Arov-Grossman.
Como ejercicio, describimos las dilataciones unitarias de un semigrupo de contracciones que actúa en un espacio de Hilbert.
Tópicos en Teoría de Operadores. Dedicado a Cora Sadosky
El Análisis Funcional es la rama de las Matemáticas que usa la intuición y lenguaje de la geometría para el estudio de las funciones (N. Young). La Teoría de Operadores es el estudio de operadores lineales o de clases estos. Estas dos definiciones contienen la suficiente belleza como para ser de gran interés.
Por otro lado las máquinas con dispositivo automático de control son cada vez más significantes en la sociedad. Usando las ideas de la Teoría de Control, en el interludio del Análisis Complejo y la Teoría de Operadores con la Ingeniería aparecen problemas como el de Nevanlinna-Pick, el cual planteamos dentro del marco del Teorema de levantamiento del conmutante de Foias (TLC a continuación).
Describimos las soluciones del TLC con la ayuda del modelo de Arov-Grossman.
Como ejercicio, describimos las dilataciones unitarias de un semigrupo de contracciones que actúa en un espacio de Hilbert.
27 de enero de 2011
31 de enero 2011: Valoración de Derivados Financieros
El pasado lunes 31 de enero el MsC. Luis Paredes, profesor de la Escuela de Matemáticas de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
El creciente desarrollo de las matemáticas, que en particular es aplicado a las finanzas, fue causado por la relación encontrada en los diferentes campos tales como el análisis funcional, el análisis numérico, los procesos estocásticos, entre otros.
Estás áreas son también, hoy en día, de gran interés en los estudios financieros, ellas han permitido solucionar muchos problemas que no son posibles de resolver de forma cualitativa o mediante un planteamiento de leyes que rijan los aspectos más importantes de las finanzas.
Usando tópicos de probabilidades, análisis y ecuaciones diferenciales, se resuelve un problema financiero, el cual plantea que si un inversionista se encuentra en un mercado financiero y posee un conjunto de activos el espera no incurrir en perdidas por las variaciones de los precios. Black y Scholes[7], desarrollaron la idea de elaborar una garantía, la cual es obtenida a partir de los activos poseídos, que posteriormente fue llamada “derivado”.
Por el crecimiento del volumen de las operaciones financieras de estos instrumentos, surge la necesidad de estudiar a fondo la valoración de los mismos. Esto llevó, a la consideración de los costos de transacción y a la clasificación de los tipos de mercados. El objetivo es obtener un precio justo para todas las partes involucradas, es decir, el emisor y comprador deben coincidir en la valoración del derivado.
Valoración de Derivados Financieros
El creciente desarrollo de las matemáticas, que en particular es aplicado a las finanzas, fue causado por la relación encontrada en los diferentes campos tales como el análisis funcional, el análisis numérico, los procesos estocásticos, entre otros.
Estás áreas son también, hoy en día, de gran interés en los estudios financieros, ellas han permitido solucionar muchos problemas que no son posibles de resolver de forma cualitativa o mediante un planteamiento de leyes que rijan los aspectos más importantes de las finanzas.
Usando tópicos de probabilidades, análisis y ecuaciones diferenciales, se resuelve un problema financiero, el cual plantea que si un inversionista se encuentra en un mercado financiero y posee un conjunto de activos el espera no incurrir en perdidas por las variaciones de los precios. Black y Scholes[7], desarrollaron la idea de elaborar una garantía, la cual es obtenida a partir de los activos poseídos, que posteriormente fue llamada “derivado”.
Por el crecimiento del volumen de las operaciones financieras de estos instrumentos, surge la necesidad de estudiar a fondo la valoración de los mismos. Esto llevó, a la consideración de los costos de transacción y a la clasificación de los tipos de mercados. El objetivo es obtener un precio justo para todas las partes involucradas, es decir, el emisor y comprador deben coincidir en la valoración del derivado.
20 de enero de 2011
24 de enero 2011: Esquemas Miméticos para Ecuaciones en Derivadas Parciales
El pasado lunes 24 de enero el Dr. Juan Guevara-Jordan, profesor de la Escuela de Matemáticas de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Los esquemas o métodos miméticos se caracterizan por proponer discretizaciones de los operadores diferenciales fundamentales de la físico-matemática (divergencia, gradiente y rotacional), satisfaciendo o mimetizando el teorema de Green-Gauss-Stokes a nivel discreto. Esta propiedad de los métodos miméticos permite establecer un procedimiento general, versátil y sistemático para discretizar cualquier ecuación diferencial parcial basado en las discretizaciones miméticas de los operadores diferenciales fundamentales. Investigaciones realizadas en la última década han evidenciado que las discretizaciones miméticas de las principales ecuaciones de la físico-matemática producen mejores aproximaciones a sus soluciones que otros métodos numéricos tradicionales sin ser más complejos su implementación o costo computacional. Existen en la actualidad varias versiones de los esquemas o métodos miméticos, las cuales difieren en detalles técnicos y en forma de presentación. En la presente charla se expondrá el fundamento matemático de una de dichas versiones, la cual se caracteriza por mantener el mismo orden de aproximación en los puntos de borde e interiores. Sus aplicaciones a problemas elípticos, flujo en medios porosos, transferencia de calor y elasticidad lineal serán mostradas y analizadas, evidenciado las ventajas de los esquemas miméticos.
Esquemas Miméticos para Ecuaciones en Derivadas Parciales
Los esquemas o métodos miméticos se caracterizan por proponer discretizaciones de los operadores diferenciales fundamentales de la físico-matemática (divergencia, gradiente y rotacional), satisfaciendo o mimetizando el teorema de Green-Gauss-Stokes a nivel discreto. Esta propiedad de los métodos miméticos permite establecer un procedimiento general, versátil y sistemático para discretizar cualquier ecuación diferencial parcial basado en las discretizaciones miméticas de los operadores diferenciales fundamentales. Investigaciones realizadas en la última década han evidenciado que las discretizaciones miméticas de las principales ecuaciones de la físico-matemática producen mejores aproximaciones a sus soluciones que otros métodos numéricos tradicionales sin ser más complejos su implementación o costo computacional. Existen en la actualidad varias versiones de los esquemas o métodos miméticos, las cuales difieren en detalles técnicos y en forma de presentación. En la presente charla se expondrá el fundamento matemático de una de dichas versiones, la cual se caracteriza por mantener el mismo orden de aproximación en los puntos de borde e interiores. Sus aplicaciones a problemas elípticos, flujo en medios porosos, transferencia de calor y elasticidad lineal serán mostradas y analizadas, evidenciado las ventajas de los esquemas miméticos.
13 de enero de 2011
17 de enero 2011: Funciones de Green para problemas independientes del tiempo
El pasado lunes 17 de diciembre la Dra. Stefania Marcantognini, investigador del departamento de Matemática del IVIC nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Cuerdas de Krein, el problema de extensión de funciones reales definidas positivas y procesos de difusión generalizados
La teoría de medidas espectrales para el operador diferencial de segundo orden (o, en otros téerminos, las medidas espectrales de la cuerda(m; l)) fue desarrollada en los comienzos de los 50 por M.G. Krein a manera de generalización de la teoría clásica de Stieltjes de problemas de momentos y fracciones continuas. Más recientemente la maquinaria de las cuerdas de Krein ha sido adoptada para encarar el problema de momentos simétrico de Hamburger y el problema de extensión de funciones reales de finidas positivas así como en conexión con procesos de difusión. Usamos la correspondencia uno-a-uno descubierta por M.G. Krein entre las medidas de Borel positivas $\sigma$ que satisfacen la condición de crecimiento
La presentación, que pretende ser autocontenida, está dirigida a estudiantes de matemáticas con conocimientos básicos de la teoría de operadores en espacios de Hilbert. Presentaremos breves reseñas de la teoría de cuerdas de Krein y de la teoría de espacios de de Branges-Kotani. Lo que reportamos es producto de un trabajo de investigación realizado conjuntamente con J.R. León (Escuela de Matemáticas, UCV).
La presentación, que pretende ser autocontenida, está dirigida a estudiantes de matemáticas con conocimientos básicos de la teoría de operadores en espacios de Hilbert. Presentaremos breves reseñas de la teoría de cuerdas de Krein y de la teoría de espacios de de Branges-Kotani. Lo que reportamos es producto de un trabajo de investigación realizado conjuntamente con J.R. León (Escuela de Matemáticas, UCV).
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