Charla: Construcción de parches triangulares para la modelación de la superficie molecular

El pasado martes 29 de mayo la MSc. Adriana Padrón, profesora de la Escuela de Matemática de la UCV nos dio una charla en el Coloquio de Matemática. A continuación un resumen de su charla.

Construcción de parches triangulares para la modelación de la superficie molecular

  En el campo del modeldo geométrico la aproximación de superficies generadas por mallas triangulares es una de las técnicas utilizadas para la visualización o la simulación de objetos tridimensionales. Esto permite el despliegue 3D del objeto con interfaces gráficas estándar de sistemas como: Matlab y Maple. Sin embargo, esta representación no facilita su deformación interactiva. Una posible solución para este problema es la representación de objetos por medio de parches definidos en términos de puntos de control, cuyas posiciones en el espacio pueden ser modificadas interactivamente.

  Los parches que conforman una superficie pueden se: polinomiales o racionales, y triangulares o rectangulares. Usualmente, los parches triangulares son más convenientes pues se adaptan naturalmente a cualquier superficie del espacio. Una herramienta necesaria para la

construcción de éste tipo de parche son las coordenadas baricéntricas, las cuales permiten generalizar los polinomios de Bernstein univariados y así definir los parches triangulares de
Bézier. Los parches, y en particular los parches triangulares, tienen la ventaja de disminuir el
número de elementos que describen una superficie y además permiten su deformación por medio de la manipulación de sus puntos de control.
  Para la descripción de superficies moleculares se pueden considerar varios modelos, siendo el de
Van der Waals el más simple: consiste en describir una molécula como una unión de esferas cuyos
radios se escogen de acuerdo al tipo de átomo que representan y los centros de dichas esferas,
que representan los núcleos, están dispuestos de acuerdo con la geometría molecular. La frontera
externa del conjunto de esferas se llama superficie de Van der Waals. En consecuencias, la
descripción de la superficie de Van der Waals se reduce a listar los polígono esféricos y la
descomposición de cada uno de ellos en parches triangulares de Bézier.
  En este trabajo se propone una manera de describir la Superficie de Van der Waals por medio de
un conjunto de parches triangulares de Bézier racionales. Los parches se construyen a partir de
la descomposición de los polígonos esféricos, para lo cual requiere:

• Calcular intersecciones de esferas del conjunto, dos a dos, para obtener un conjunto de circunferencias en 3D.
• Dados todos los círculos que yacen sobre la esfera del conjunto consideramos todas sus intersecciones dos a dos. Esto subdivide cada círculo en arcos.
• Determinación de los polígonos esféricos a partir de los arcos.

  Cada polígono esférico se envía al plano por medio de la proyección estereográfica, obteniéndose
un polígono plano de lados curvos y se determina su representación como parche triangular de
Bézier racional. De esta forma se construyen espacios paramétricos cuyas imágenes por medio de
la inversa de la proyección estereográfica constituyen la superficie de Van der Waals.