El pasado martes 29 de marzo la Dra. Delia Flores, profesora jubilada de la Escuela de Matemática de la UCV nos dió una charla en el Coloquio de Matemáticas. A continuación un resumen de su charla.
Álgebras Simétricas Cuánticas
Un álgebra simétrica cuántica sobre un cuerpo K, es un álgebra graduada $R=\underset{n\geq o}{\oplus }R_{n}$, donde $R_{0}=K,R_{1}=V$ es un K-espacio con una "trensa" y R es generada como K-álgebra por V.
Hay dos formas de aproximarse al estudio de estas álgebras:
1. Usando teoría de Representación, la que se remota a Riham Ree, 1958 y se continua con Lusztig (1997), Green (1998-2000), Rosso (1998), Flores-Green (200-2005).
2. Trabajando en una categoría tensorial de módulos, cuya estructura induce una trensa. Se inicia con los trabajos de Nichols (1978), continúan, entre otros, Andruskiewich-Schneider, (1999-2000),Takeuchi (2000-2003), Flores 2005.
En esta charla construiremos un álgebra simétrica cuántica a partir de un espacio vectorial V con una trensa b, $S^{b}\left( v\right) ,b:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$ es una aplicación lineal e invertible que satisface la ecuación de Yang-Baxter
$\left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right)
=\left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) .
$
Para esto veremos como la trensa b sobre V, permite obtener una representación del grupo de trensas $B_{n}$ sobre $V^{\otimes n}$, para cada n, usando esta representación definimos una multiplicación $ \ast \equiv Sh$ sobre $T\left( V\right) $ que junto con la inyección u de K en $T\left( V\right) $ nos dá el álgebra $T^{b}\left( V\right) =\left( T\left( V\right) ,Sh,u\right) $, llamada álgebra cuántica. Veremos que la sub-álgebra de $T^{b}\left( V\right) $ generado por $V,S^{b}\left( V\right) $, es un álgebra simétrica cuántica.
Daremos ejemplos que nos permitan ver como los q-números, $\left( n\right) _{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}$, surgen de un modo natural en el contexto de estas álgebras y como el álgebra tensorial $T\left( V\right) $, el álgebra simétrica $S\left( V\right) $ el álgebra exterior $\wedge V\ $ y la q-deformación $S_{q}\left( V\right) $ de $S\left( V\right) $ son casos particulares de álgebras simétricas cuánticas.
Destacaremos un resultado de Rosso que obtiene a $S^{b}\left( V\right) $ como la imagen de un operador de $T\left( V\right) $ en $T^{b}\left( V\right) $, que deja ver a $S^{b}\left( V\right) $ como la simetrización completa de $T^{b}\left( V\right) $ con respecto al grupo de trensas.
Hay dos formas de aproximarse al estudio de estas álgebras:
1. Usando teoría de Representación, la que se remota a Riham Ree, 1958 y se continua con Lusztig (1997), Green (1998-2000), Rosso (1998), Flores-Green (200-2005).
2. Trabajando en una categoría tensorial de módulos, cuya estructura induce una trensa. Se inicia con los trabajos de Nichols (1978), continúan, entre otros, Andruskiewich-Schneider, (1999-2000),Takeuchi (2000-2003), Flores 2005.
En esta charla construiremos un álgebra simétrica cuántica a partir de un espacio vectorial V con una trensa b, $S^{b}\left( v\right) ,b:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$ es una aplicación lineal e invertible que satisface la ecuación de Yang-Baxter
$\left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right)
=\left( b\otimes 1\right) \left( 1\otimes b\right) \left( b\otimes 1\right) .
$
Para esto veremos como la trensa b sobre V, permite obtener una representación del grupo de trensas $B_{n}$ sobre $V^{\otimes n}$, para cada n, usando esta representación definimos una multiplicación $ \ast \equiv Sh$ sobre $T\left( V\right) $ que junto con la inyección u de K en $T\left( V\right) $ nos dá el álgebra $T^{b}\left( V\right) =\left( T\left( V\right) ,Sh,u\right) $, llamada álgebra cuántica. Veremos que la sub-álgebra de $T^{b}\left( V\right) $ generado por $V,S^{b}\left( V\right) $, es un álgebra simétrica cuántica.
Daremos ejemplos que nos permitan ver como los q-números, $\left( n\right) _{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}$, surgen de un modo natural en el contexto de estas álgebras y como el álgebra tensorial $T\left( V\right) $, el álgebra simétrica $S\left( V\right) $ el álgebra exterior $\wedge V\ $ y la q-deformación $S_{q}\left( V\right) $ de $S\left( V\right) $ son casos particulares de álgebras simétricas cuánticas.
Destacaremos un resultado de Rosso que obtiene a $S^{b}\left( V\right) $ como la imagen de un operador de $T\left( V\right) $ en $T^{b}\left( V\right) $, que deja ver a $S^{b}\left( V\right) $ como la simetrización completa de $T^{b}\left( V\right) $ con respecto al grupo de trensas.
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